📖 Линейные уравнения эллиптического типа. О задаче Дирихле для эллиптического уравнения второго порядка.

Исследуется разрешимость задачи Дирихле с квадратично суммируемой граничной функцией для общего линейного эллиптического уравнения второго порядка в ограниченной области с гладкой границей. Получены точные (по порядку роста) ограничения на рост вблизи границы рассматриваемой ограниченной области младших коэффициентов уравнения при которых решение (если оно существует) обладает свойством (n-1)-мерной непрерывности, характеризующим поведение решения вблизи границы области и описывающее в каком смысле оно принимает свое граничное значение. Получены необходимые и достаточные условия существования (n-1)-мерно непрерывного решения рассматриваемой задачи Дирихле и установлено, что условия разрешимости изучаемой задачи имеют вид, аналогичный условиям разрешемости в обычной обобщенной постановке. Доказано, в частности, что если однородная задача (с равными нулю граничной функцией и правой частью) не имеет нетривиальных решений, то для всех квадратично суммируемых граничных функций и всех правых частей из соответствующих функциональных пространств существует (n-1)-мерно непрерывное решение неоднородной задачи.